SOMMERFELD-ENTWICKLUNG

Für sehr tiefe Temperaturen weicht die Fermi-Dirac-Verteilung nur in einem kleinen Bereich um merklich von der Verteilung für ab. Diese Tatsache benutzt man, um eine Tieftemperaturentwicklung für Größen wie herzuleiten.

Sei eine beliebige Funktion mit einer Stammfunktion

soll die Fermi-Dirac-Verteilung bezeichnen.

Das Integral über das Produkt aus n und f (wie es auftaucht bei der Berechnung der obengenannten thermodynamischen Größen) kann mit partieller Integration wie folgt umgeformt werden:

Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet, weil an der oberen Grenze n und an der unteren Grenze F gleich Null wird.

Die unter dem Integral auftauchende Ableitung der Fermi-Dirac-Verteilung ist

Da auf einen kleinen Bereich um konzentriert ist, kann man F um entwickeln:

mit

Da es sich bei um eine gerade Funktion handelt, verschwinden alle Integrale, in denen der Faktor eine ungerade Potenz j hat. Für gerades j ergibt sich:

Damit lauten die ersten Terme der Sommerfeldentwicklung:

Um mit Hilfe dieser Entwicklung die Energie E(T) und die Wärmekapazität eines idealen Fermi-Gases für zu bestimmen, muß man zuerst die Abhängigkeit des chemischen Potentials von der Temperatur kennen:

Weil das chemische Potential für nur wenig von der Fermienergie abweicht, kann man die rechte Seite nach der Differenz entwickeln:

Nach Definition von ist das erste Integral auf der rechten Seite gleich N, so daß sich ergibt:

Falls also (wie beim freien Elektronen-Gas in 3D) die Zustandsdichte an der Fermikante ansteigt (), so fällt bei wachsender Temperatur unter den Wert .

Dieses Ergebnis benutzt man, um E(T) für zu berechnen:

(Im letzten Schritt wurde der oben hergeleitete Ausdruck für benutzt)

Die Wärmekapazität für ein ideales Fermi-Gas wächst bei tiefen Temperaturen linear mit T:

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