GITTERSCHWINGUNGEN

Kleine Auslenkungen eines Systems aus einer stabilen Gleichgewichtslage führen zu harmonischen Schwingungen. In der Mechanik transformiert man auf die sogenannten "Normalkoordinaten" des Systems. Jede dieser Koordinaten führt eine harmonische Schwingung aus. Das System kann in dieser Weise als Ansammlung von unabhängig schwingenden harmonischen Oszillatoren betrachtet werden. Dieses Ergebnis bleibt auch in der Quantenmechanik gültig.

Speziell für einen Kristall ergibt sich wegen der Translationssymmetrie, daß jeder "Eigenmode" des Systems ein Wellenvektor zugeordnet werden kann, der zu einer ebenen Welle der Form gehört. Die Angabe des Wellenvektors genügt jedoch nicht, um die Eigenmode vollständig zu kennzeichnen. Man muß außerdem die verschiedenen Schwingungs-"Zweige" durchnumerieren. Bei einem Kristall mit nur einem Teilchen in der Basis gibt es drei Zweige. Diese werden "akustische" Zweige genannt, da sie den Schallwellen im Festkörper entsprechen. Bei mehreren Teilchen in der Basis kommen weitere Zweige, die sogenannten "optischen" Moden, hinzu. Wenn allgemein n die Anzahl der Teilchen in der Basis bezeichnet, dann hat man 3n Zweige. Für jeden Wert des Wellenvektors gibt es dann 3n Werte der Frequenz . Die erlaubten -Werte stammen aus der (ersten) Brillouinzone des reziproken Gitters und haben die Form

Dabei sollen , , die Basisvektoren des reziproken Gitters sein. In bezug auf die Basisvektoren des realen Gitters erfüllen diese die Bedingung . M gibt die Kantenlänge des Kristalls in Einheiten der Gitterkonstanten an. Es gibt insgesamt erlaubte -Werte in der Brillouinzone. Wenn man einen größeren Kristall betrachtet, so ändert sich nichts an der Größe der Brillouinzone, nur die möglichen Wellenvektoren liegen dichter beisammen. Da man in allen Rechnungen üblicherweise periodische Randbedingungen voraussetzt, betrachtet man in Wahrheit sowieso nur einen kleinen Ausschnitt eines echten Kristalls.

Um die Thermodynamik der Gitterschwingungen zu untersuchen, muß man zuerst den Harmonischen Oszillator behandeln.

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