MAXWELL-BOLTZMANNSCHE GESCHWINDIGKEITSVERTEILUNG

Annahme: Die Hamiltonfunktion zerfällt in kinetische und potentielle Energie:

(p,q stehen für alle Impulse bzw. Koordinaten des Systems)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum kann dann als Produkt geschrieben werden:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte bezgl. der Impulse erhält man generell, indem man über die Koordinaten integriert:

Hier führt das dazu, daß die Impulsverteilung nur von abhängt:

Es ist dafür völlig unerheblich, ob zwischen den Teilchen des Systems Kräfte wirken, oder ob sich jedes dieser Teilchen unabhängig von den anderen in einem Potential bewegt.

Wenn nun insbesondere die kinetische Energie als Summe der kinetischen Energien der einzelnen Teilchen geschrieben werden kann, dann gilt für jedes einzelne Teilchen:

Die Konstante C ist über die Normierungsbedingung für festgelegt:

Also gilt

Man kann zur Geschwindigkeitsverteilung übergehen durch . Wenn man die schon berechnete Verteilung der Impulse jetzt zur Unterscheidung mit bezeichnet, dann ergibt sich die Geschwindigkeitsverteilung aus der Bedingung:

Also :

Dies ist die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung.

Die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung bezüglich einer Komponente der Geschwindigkeit zu verschiedenen Temperaturen (die hier im Verhältnis 1:3:5:7:9:13 stehen). Die Breite der Verteilung wächst mit zunehmender Temperatur wie . Genauer beträgt die volle Halbwertsbreite .

Für den Geschwindigkeitsbetrag erhält man die Verteilung W durch Multiplikation der Verteilung mit dem Volumenelement einer Kugelschale im Geschwindigkeitsraum:

Also

Die Verteilung des Geschwindigkeitsbetrages

Das Maximum der Verteilung liegt bei

Der Mittelwert von ergibt sich zu

Den Mittelwert von kann man auch durch Integration oder einfacher aus dem Gleichverteilungssatz erhalten: . Damit erhält man für die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat ("root mean square"=RMS):

Die Verteilung des Geschwindigkeitsbetrages bei verschiedenen Temperaturen (im Verhältnis 1:3:5:7:9:13, wie angegeben). Das Maximum der Verteilung verschiebt sich zu höheren Geschwindigkeiten proportional zu , die Höhe des Maximums fällt mit , die Fläche bleibt konstant.

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