HARMONISCHER OSZILLATOR
Ein quantenmechanischer (eindimensionaler) harmonischer Oszillator wird durch den Hamiltonoperator
beschrieben. Als Ergebnis aus der Quantenmechanik wird im Folgenden nur benötigt, daß die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators gleich
sind. Formal kann man deshalb den Hamiltonoperator als
schreiben. 
ist dabei gerade derjenige Operator, welcher, angewandt auf die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators, die Zahlen 0,1,2,... als Eigenwerte liefert. Wenn der harmonische Oszillator einer Schwingungsmode eines Kristalls im n-ten (n=0,1,2,...) Eigenzustand ist, so spricht man davon, daß sich in der entsprechenden Mode n "Phononen" befinden. Der Operator ist deswegen der Zähloperator, welcher die Zahl der Phononen in einer Schwingungsmode angibt. Falls das System nicht in einem stationären Zustand ist, kann es auch sein, daß z.B. eine Überlagerung eines 2-Phononen- und eines 3-Phononen-Zustandes vorliegt. Der Erwartungswert des Zähloperators dieser Schwingungsmode würde dann eine Zahl zwischen 2 und 3 ergeben.
Die Behandlung des harmonischen Oszillators in der Statistischen Physik beginnt wie üblich mit der Berechnung der (kanonischen) Zustandssumme. Die stellt sich in diesem Fall als geometrische Reihe heraus:
Besetzungswahrscheinlichkeit:
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| Besetzung der Energieniveaus des harmonischen Oszillators mit wachsender Temperatur |
Für die Energie soll hier der Weg über die Mittelwertbildung gezeigt werden. Etwas schneller zum Ziel würde man aber durch Berechnung von F,S und Anwendung von 
kommen.
Die darin auftauchende Summe 
stellt man als Ableitung dar:
Also ergibt sich für die Energie:
Freie Energie:
Entropie:
(Man könnte das natürlich auch aus F,E über erhalten. Oder umgekehrt zuerst F,S ausrechnen, um dann E zu bekommen)
Grenzfälle bezüglich der Entropie:
Für 
geht die Entropie gegen Null, denn das Argument des ln strebt gegen 1 und der Nenner des Quotiententerms geht exponentiell gegen Unendlich, so daß auch das 
nichts ausmacht. Für 
erhält man durch Taylorentwicklung (
):
Wärmekapazität:
Grenzfälle bezüglich 
:
Bei 
bleibt im Nenner ein 
übrig, das mit der exponentiellen Divergenz dafür sorgt, daß 
(trotz des 
-Terms). Für 
hat man (wieder mit Taylorentwicklung von ):
Die Wärmekapazität eines harmonischen Oszillators geht im Grenzfall hoher Temperaturen gegen die Boltzmannkonstante k. Dieses Ergebnis führt bei den Phononen zum "Dulong-Petit"-Gesetz. Es kann auch aus dem klassischen Gleichverteilungssatz abgeleitet werden.
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Thermodynamische Größen des harmonischen Oszillators in Abhängigkeit von der Temperatur. Die Energie verläuft linear für große Temperaturen, C geht gegen die Boltzmannkonstante (hier =1 gesetzt). | Bei niedrigen Temperaturen findet man bei allen hier betrachteten thermodynamischen Größen exponentielles Verhalten. Bei der hier gezeigten Kurve für die Energie ist bereits die konstante Nullpunktsenergie abgezogen worden.
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