GLEICHVERTEILUNGSSATZ

Sei y eine Koordinate oder ein Impuls, der in der Hamiltonfunktion H eines Systems vorkommt. Der Mittelwert der Größe

ergibt sich zu:

Y soll dabei für die restlichen Koordinaten und Impulse stehen. Faktoren wie und sind hier sowohl in der Zustandssumme als auch im Phasenraumintegral fortgelassen, da sie bei der Mittelwertbildung herausfallen. Nun wird vorausgesetzt, daß der Ausdruck für schnell genug gegen Null geht. Dann ist es möglich, mit partieller Integration das Integral über y auszuwerten:

Wegen

fällt im Ausdruck für nun fast alles weg, bis auf :

Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich dann, wenn die Koordinate/ der Impuls y nur an einer einzigen Stelle in der Hamiltonfunktion in der Form eines quadratischen Terms auftaucht:

Der Beitrag, den dieser Term zur Energie liefert, ergibt sich zu

Jede kanonische Variable (Koordinate oder Impuls), welche quadratisch in die Hamiltonfunktion eingeht, liefert einen Beitrag zur Gesamtenergie.

Dies ist der sogenannte Gleichverteilungssatz. Er gilt nur in der klassischen statistischen Mechanik.

Insbesondere findet man damit für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens

(Im Dreidimensionalen gehören drei Impulskomponenten zu )

Dann, wenn das Teilchen im Potential eines harmonischen Oszillators schwingt oder wenn man (wie beim Festkörper) durch Transformation auf neue Koordinaten und Impulse ein System von unabhängigen harmonischen Oszillatoren erhält, ist die mittlere potentielle Energie, die zu jeder eindimensionalen Koordinate gehört, ebenfalls durch gegeben:

Für den Festkörper führt das zum Gesetz von Dulong-Petit:

N ist dabei die Anzahl der Atome, so daß es insgesamt 3N Normalschwingungskoordinaten gibt. (Genau genommen entsprechen 3 Koordinaten der Translation und weitere 3 der Rotation des ganzen Körpers, was aber für vernachlässigt werden kann) Zu jeder dieser Schwingungsmoden ergibt sich eine mittlere Energie , wobei jeweils die Hälfte auf die potentielle bzw. kinetische Energie entfällt.

[Weiter] Klassische statistische Mechanik des idealen Gases
[Zurück] Klassische Zustandssumme von N Teilchen