DAS GROßKANONISCHE ENSEMBLE

Es wird nun ein System mit variabler Teilchenzahl betrachtet (das also im Teilchenaustausch mit der Umgebung steht). Die Energieniveaus eines Systems hängen damit zusätzlich ab von der variablen Teilchenzahl n und sind durch gegeben. Die Mittelwerte der Energie und der Teilchenzahl, und , seien festgelegt. Die Bedingungen an die gesuchte Verteilung lauten demnach:

Nach der Methode der Lagrange-Multiplikatoren kommt man in üblicher Weise auf eine Verteilung der Form

(Beachte den zusätzlichen Term im Exponenten)

Die Normierungsbedingung führt auf

Der Nenner wird hier als "großkanonische Zustandssumme" bezeichnet.

Durch die Beziehungen

erhält man für die Lagrange-Multiplikatoren :

Die Verteilung im großkanonischen Ensemble lautet demnach:

mit der großkanonischen Zustandssumme:

Für die Entropie erhält man daraus:

Durch Vergleich mit dem Ausdruck für das "thermodynamische Potential im großkanonischen Ensemble" ergibt sich

tritt im großkanonischen Ensemble an die Stelle, die die freie Energie beim kanonischen Ensemble einnimmt (daher auch der Name von ). Aus der Kenntnis von (bzw. ) kann man alle weiteren thermodynamischen Größen berechnen.

Das großkanonische Ensemble wird z.B. benutzt, um die Fermi-Dirac- und Bose-Einstein-Verteilungen herzuleiten.

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