DIE ZUSTANDSDICHTE DER GITTERSCHWINGUNGEN

Der Hamiltonoperator des schwingenden Kristallgitters (in ''harmonischer Näherung'') ist der eines Systems aus unabhängig schwingenden harmonischen Oszillatoren:

ist der Wellenvektor, dessen (diskrete) erlaubte Werte in der 1. Brillouinzone liegen, i kennzeichnet den Schwingungszweig (insgesamt 3n, wenn es n Teilchen in der Basis gibt).

Alle thermodynamischen Größen erhält man demnach als Summe über die entsprechenden Größen der einzelnen harmonischen Oszillatoren. Z.B. gilt für die Energie:

ist die Energie eines harmonischen Oszillators der Frequenz bei der Temperatur T. Da die Energie von nur über die Frequenz abhängt und außerdem im Grenzfall eines unendlich großen Kristallgitters die erlaubten -Werte beliebig dicht liegen, ist es möglich, die Summe durch ein Integral über die Frequenz zu ersetzen. Dazu muß man eine Zustandsdichte einführen: soll die Gesamtzahl der Schwingungsmoden mit Frequenzen im Intervall angeben, dividiert durch das Volumen des Kristalls. Da es bei N Atomen insgesamt 3N Schwingungsmoden gibt, muß gelten:

Mit Hilfe dieser Dichte kann man z.B.

schreiben.

DULONG-PETIT-GESETZ

Für die Wärmekapazität ergibt sich

Für hohe Temperaturen geht die Wärmekapazität jedes einzelnen harmonischen Oszillators gegen die Boltzmannkonstante k. Deshalb erhält man in diesem Grenzfall unter Benutzung der Normierungsbedingung für die Zustandsdichte:

Dies ist das sogenannte "Dulong-Petit"-Gesetz. Es folgt auch aus dem Gleichverteilungssatz der klassischen statistischen Mechanik.

Wenn man nicht im Grenzfall hoher Temperaturen ist, so benötigt man zur Berechnung der thermodynamischen Größen die Kenntnis der Zustandsdichte. Die kann im allgemeinen sehr kompliziert sein. Sie ist im Prinzip aus der Dispersionsrelation berechenbar, welche wiederum aus den zwischen den Atomen wirkenden Kräften ("verallgemeinerte Federkonstanten") zu erhalten ist. Diese hängen ab von der elektronischen Struktur des Festkörpers.

Für niedrige Temperaturen jedoch gibt es eine allgemeingültige Näherung, das sogenannte Debye-Modell.

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