FERMIONEN UND BOSONEN

Ein System aus N Teilchen wird durch eine Wellenfunktion beschrieben, die von den N Teilchenkoordinaten abhängt. (Darin sollen auch evtl. innere Freiheitsgrade wie der Spin der Teilchen enthalten sein):

Falls die Teilchen identisch sind, so können zwei verschiedene Situationen, in denen nur die ''Numerierung der Teilchen'' anders ist, nicht unterschieden werden. Deshalb gilt

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Konfiguration der Teilchen ändert sich nicht, wenn man die Teilchenkoordinaten austauscht. Das heißt nicht, daß die Wellenfunktion selbst bei Vertauschung zweier Teilchenkoordinaten gleich bleibt. Sie kann vielmehr mit einer Zahl vom Betrag 1 (also einer Zahl der Form ) multipliziert werden. Bei nochmaliger Vertauschung ergibt sich wieder der ursprüngliche Wert, so daß man fordern muß:

Teilchen, für die die Wellenfunktion bei Vertauschung zweier Teilchenkoordinaten ihr Vorzeichen wechselt, heißen Fermionen, solche, bei denen der Wert von unverändert bleibt, Bosonen.

Eine beliebige vorgegebene Mehrteilchenwellenfunktion erfüllt diese Forderungen im allgemeinen nicht. Man kann aber zu jeder Wellenfunktion durch ''Symmetrisieren'' bzw. ''Antisymmetrisieren'' eine bosonische / fermionische Wellenfunktion konstruieren:

Für Fermionen summiert man dazu über alle Vertauschungen (Permutationen) der Teilchenkoordinaten und versieht jeden dieser Summanden mit dem Signum der Permutation als Vorfaktor. Die Größe hat den Wert +1, wenn man die durch P angegebene Reihenfolge der Zahlen {1,2,...,N} durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen in die Standardreihenfolge 1,2,...,N bringen kann, ansonsten ist .

Die so entstandene Wellenfunktion wechselt ihr Vorzeichen bei Vertauschung beliebiger Teilchenkoordinaten (ist hier aber noch nicht normiert). Für Bosonen muß das weggelassen werden: Alle Summanden gehen mit positivem Vorzeichen ein.

Um die Bedeutung dieser Operationen zu veranschaulichen, sind hier Mehrteilchenwellenfunktionen für zwei Teilchen im Eindimensionalen gezeigt (). Links sieht man das Betragsquadrat einer Wellenfunktion, die weder den bosonischen noch den fermionischen Vertauschungsregeln genügt. In der Mitte ist eine bosonische Wellenfunktion, rechts eine fermionische gezeigt. Beide sind durch Symmetrisieren bzw. Antisymmetrisieren der links gezeigten Funktion entstanden. Die Diagonale gibt die Punkte im Konfigurationsraum an, für die beide Teilchen am selben Ort sind: . Bei der fermionischen Wellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit dafür Null, denn

Auch für eine einfache Ausgangswellenfunktion kann die Struktur der Knotenlinien durch das Symmetrisieren / Antisymmetrisieren kompliziert werden.

Bei einer beliebigen (in diesem Beispiel nichtstationären) Wellenfunktion ist i.a. nur noch die Symmetrie bei Spiegelung an der Diagonale vorhanden, entsprechend der Vertauschung der beiden Teilchen.

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Wenn eine Basis aus Einteilchenwellenfunktionen gegeben ist, dann kann man eine Basis von Mehrteilchenwellenfunktionen konstruieren, indem man Produkte aus den Einteilchenzuständen bildet:

(wobei die Indices alle Einteilchenzustände durchlaufen)

Natürlich erfüllen diese Funktionen noch nicht die Symmetrie-/ Antisymmetriebedingungen beim Vertauschen zweier Teilchenkoordinaten. Durch Symmetrisieren kommt man bei Bosonen zu den folgenden Mehrteilchenbasisfunktionen:

(diese sind hier noch nicht normiert)

Es sind dabei die Zustände "besetzt". Bei Bosonen kann ein Zustand in dieser Liste mehrfach vorkommen. Dagegen würde in solch einem Fall bei Fermionen die antisymmetrisierte Wellenfunktion Null ergeben, weil dann in der Summe z.B. neben auch steht. In den fermionischen Mehrteilchenbasiszuständen darf demnach ein Zustand höchstens einfach besetzt sein. Diese Basiszustände haben allgemein die Form

Das entspricht der Definition einer Determinante, die in diesem Fall "Slater-Determinante" genannt wird. Für zwei Fermionen in den (Einteilchen-)Zuständen und ist das z.B.

(Wenn dagegen ein Zustand doppelt besetzt ist, sind zwei Zeilen der Determinante gleich, so daß sie Null ergibt)

Das systematische Rechnen in dieser Mehrteilchenbasis ist Gegenstand der "zweiten Quantisierung" ("Besetzungszahldarstellung"). Für die Zwecke dieses Skripts wird aber nur das Folgende benötigt:

Zusammenfassung Eine Mehrteilchenbasis für Bosonen/Fermionen entsteht aus der Einteilchenbasis durch Produktbildung und anschließendes Symmetrisieren/Antisymmetrisieren. Die Zustände dieser Basis können allgemein in der Form gekennzeichnet werden. Dabei gibt die Besetzungszahl an, wieviel Teilchen im Zustand i sind. Bei Fermionen sind die entweder 0 oder 1, bei Bosonen gibt es keine derartige Begrenzung.

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